W topologii i teorii mnogości, zbiory Bernsteina to bardzo nieregularne podzbiory przestrzeni polskiej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908[1].

Spis treści

edytuj Definicja

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Powiemy, że podzbiór Z\subseteq X jest zbiorem Bernsteina w X jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego B\subseteq X mamy, że

B\cap Z\neq \emptyset oraz B\setminus Z\neq \emptyset.

edytuj Własności

Niech (X,τ) będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską.

  • Przypuśćmy, że Z\subseteq X. Wówczas nastÄ™pujÄ…ce warunki sÄ… równoważne:
(a) Z jest zbiorem Bernsteina,
(b) ani Z ani X\setminus Z nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru X,
(c) zarówno Z jak i X\setminus Z ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem X.
  • JeÅ›li Z\subseteq X jest zbiorem Bernsteina, to
(i) X\setminus Z jest zbiorem Bernsteina,
(ii) Z nie ma własności Baire'a,
(iii) Z jest niemierzalny względem dowolnej miary Radona na X.

edytuj Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia AC. Np przy założeniu aksjomatu determinacji nie istnieją takie zbiory, co wynika z wyników polskich matematyków Jana Mycielskiego, Hugo Steinhuasa i Stanisława Świerczkowskiego.[2][3] Poniżej zakładamy więc aksjomat wyboru, zgodnie z którym na każdym zbiorze można określić dobry porządek.

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Wówczas |X|=2^{\aleph_0} a także moc rodziny wszystkich borelowskich podzbiorów X jest 2^{\aleph_0}. Wobec naszych założeń możemy wybrać listę \langle B_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\rangle wszystkich nieprzeliczalnych borelowskich podzbiorów X. (Gdzie 2^{\aleph_0} jest traktowane jako liczba porządkowa.) Teraz przez indukcję ze względu na \alpha<2^{\aleph_0} wybieramy punkty x_\alpha,y_\alpha\in X tak, że

(1)α x_\alpha\neq y_\alpha,
(2)α x_\alpha,y_\alpha\in B_\alpha \setminus \{x_\beta,y_\beta:\beta<\alpha\}.

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku \alpha<2^{\aleph_0} wiemy, że zbiór Bα jest nieprzeliczalny a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór {xβ,yβ:β < α} ma moc mniejszą niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, otrzymujemy rozłączne zbiory \{x_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\} i \{y_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}. Każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

edytuj Bibliografia

  1. ↑ Felix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), 325-338.
  2. ↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
  3. ↑ J. Mycielski, S. Świerczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fundamenta Mathematicae. 54 (1964) 67-71.

edytuj Zobacz też